2. 考研
  3. 设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。 (Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示； (Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表

设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。 (Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示； (Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表

admin2019-03-19  56
问题 设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。
    (Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；
    (Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式；
    (Ⅲ)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
选项
答案设有数k1，k2，k3，使得 k1α1+k2α2+k3α3=β。 (*) 记A=(α1，α2，α3)。对矩阵(A，β)施以初等行变换，有 [*] 可知r(A)≠r(A，β)。因此方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示。 (Ⅱ)当a≠0，且a≠b时，有 [*] 此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，其表示式β=(1一[*]α2。 (Ⅲ)当a=b≠0时，对矩阵(A，β)施以初等行变换，有 [*] r(A)=r(A，β)=2，方程组(*)有无穷多解，其全部解为k1=1一[*]+c，k3=c，其中c为任意常数。 β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式β=(1一[*]+c)α2+cα3。
解析
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考研数学三

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