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设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,试证在(0,1)内至少存在一点ξ,使
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,试证在(0,1)内至少存在一点ξ,使
admin
2021-02-25
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问题
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,试证在(0,1)内至少存在一点ξ,使
选项
答案
证法1:设[*] F(0)=f(0),[*] 从而F(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点ξ∈(0,1),使f’(ξ)=0,即[*] 证法2:设g(x)=arctanx,在[0,1]上,f(x)和g(x)满足柯西中值定理条件,故至少存在一点ξ∈(0,1),使 [*],即 [*]
解析
本题仍是证明中值问题.
一种思路是所证结论相当于证明方程
有根,即需证
,左端积分找到辅助函数
,用罗尔定理可证.
另一种思路是将等式变形为
,用柯西中值定理.
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考研数学二
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