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  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点ξ，使

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点ξ，使

admin2021-02-25  49
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点ξ，使
   
选项
答案证法1：设[*] F(0)=f(0)，[*] 从而F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=0，即[*] 证法2：设g(x)=arctanx，在[0，1]上，f(x)和g(x)满足柯西中值定理条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使 [*]，即 [*]
解析 本题仍是证明中值问题．
一种思路是所证结论相当于证明方程有根，即需证，左端积分找到辅助函数，用罗尔定理可证．
另一种思路是将等式变形为，用柯西中值定理．
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考研数学二

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