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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:cx+2ay+3b=0。 试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:cx+2ay+3b=0。 试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
admin
2019-08-01
63
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,l
2
:bx+2cy+3a=0,l
3
:cx+2ay+3b=0。
试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
选项
答案
必要性。 设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则线性方程组 [*] 有唯一解,所以系数矩阵[*]=0。 又[*]=6(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
一ab一ac—bc)=3(a+b+c)[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
], 而根据题设(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
≠0,故a+b+c=0。 充分性:由a+b+c=0,则从必要性的证明可知,[*]<3。 由于 [*]=2(ac—b
2
)=一2[a(a+b)+b
2
] =一2[(a+[*]b)
2
+[*]b
2
]≠0, 故r(A)=2。于是,r(A)=[*]=2。 因此方程组(*)有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点。
解析
三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iPN4777K
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考研数学二
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