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  3. 设f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-∞，0)上有唯一的零点x0=-1，且fˊ(x0)=1，则函数的严格单调增区间是( )．

设f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-∞，0)上有唯一的零点x0=-1，且fˊ(x0)=1，则函数的严格单调增区间是( )．

admin2019-08-21  52
问题 设f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-∞，0)上有唯一的零点x0=-1，且fˊ(x0)=1，则函数的严格单调增区间是(    )．
选项 A、(-∞，-1)
B、(-1，0)
C、(-1，1)
D、(1，+∞)
答案C
解析 由题设条件，根据导数定义、极限的保号性、变限函数求导数以及偶函数的性质进行讨论便可得结论．
解：在(-∞，0)上考虑，由x0为f(x)的零点可得

由极限的保号性质可知，存在δ＞0，在[x0-δ，x0+δ] ?(-∞，0)内有f(x)/(x-x0)＞0．因此，当x∈[x0-δ，x0]时，f(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ]时，f(x)＞0．由f(x)在(-∞，0)上有唯一零点x0=-1，可得当x∈(-∞，x0-δ)时，f(x)＜0；x∈(x0+δ，0)时，f(x)＞0(理由见方法点击)．
由题设f(x)是实数集上连续的偶函数，可得x∈(0，1)时，f(x)＞0；x∈(1，+∞)时，f(x)＜0．综合上述，x∈(-1，1)时，f(x)＞0；x∈(-∞，-1)及x∈(1，+∞)时，f(x)＜0．因为Fˊ(x)=f(x)，因此F(x)在(-1，1)内严格单调增加．
故应选（C）．
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考研数学二

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