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设f(x)是实数集上连续的偶函数,在(-∞,0)上有唯一的零点x0=-1,且fˊ(x0)=1,则函数的严格单调增区间是( ).
设f(x)是实数集上连续的偶函数,在(-∞,0)上有唯一的零点x0=-1,且fˊ(x0)=1,则函数的严格单调增区间是( ).
admin
2019-08-21
61
问题
设f(x)是实数集上连续的偶函数,在(-∞,0)上有唯一的零点x
0
=-1,且fˊ(x
0
)=1,则函数
的严格单调增区间是( ).
选项
A、(-∞,-1)
B、(-1,0)
C、(-1,1)
D、(1,+∞)
答案
C
解析
由题设条件,根据导数定义、极限的保号性、变限函数求导数以及偶函数的性质进行讨论便可得结论.
解:在(-∞,0)上考虑,由x
0
为f(x)的零点可得
由极限的保号性质可知,存在δ>0,在[x
0
-δ,x
0
+δ] ?(-∞,0)内有f(x)/(x-x
0
)>0.因此,当x∈[x
0
-δ,x
0
]时,f(x)<0;当x∈(x
0
,x
0
+δ]时,f(x)>0.由f(x)在(-∞,0)上有唯一零点x
0
=-1,可得当x∈(-∞,x
0
-δ)时,f(x)<0;x∈(x
0
+δ,0)时,f(x)>0(理由见方法点击).
由题设f(x)是实数集上连续的偶函数,可得x∈(0,1)时,f(x)>0;x∈(1,+∞)时,f(x)<0.综合上述,x∈(-1,1)时,f(x)>0;x∈(-∞,-1)及x∈(1,+∞)时,f(x)<0.因为Fˊ(x)=f(x),因此F(x)在(-1,1)内严格单调增加.
故应选(C).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SKN4777K
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考研数学二
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