设f(x)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f’(0)=1,f"(x)≥0.证明:f(x)=0在(0,+∞)内有且仅有一个根.

admin2018-11-11  45

问题 设f(x)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f’(0)=1,f"(x)≥0.证明:f(x)=0在(0,+∞)内有且仅有一个根.

选项

答案因为f"(x)≥0,所以f’(x)单调不减,当x>0时,f’(x)≥f’(0)=1. 当x>0时,f(x)-f(0)=f’(ξ)x,从而f(x)≥f(0)+x,因为[*]所以[*] 由f(x)在[0,+∞)上连续,且f(0)=-2<0,[*],则f(x)=0在(0,+∞)内至少有一个根,又由f’(x)≥1>0,得方程的根是唯一的.

解析
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