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  3. 设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，记： Yi＝ (i＝1，2，…，n)． 求．

设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，记： Yi＝ (i＝1，2，…，n)． 求．

admin2018-08-30  31
问题 设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，记：
    Yi＝    (i＝1，2，…，n)．
    求．
选项
答案EYi＝P(Xi＋Xi+1)＝P(Xi＝0，Xi+1＝1)＋P(Xi＝1，Xi+1＝0)＝2p(1－p)，i＝1，…，n ∴[*]＝2np(1－p)， 而E(Yi2)＝P(Xi＋Xi-1＝1)＝2p(1－p)， ∴DYi＝E(Yi2)－(EYi)2 ＝2p(1－p)[1－2p(1－p)]，i＝1，2，…，n． 若l－k≥2，则Yk与Yl独立，这时cov(Yk，Yl)＝0，而 E(YkYk+1)＝P(Yk＝1，Yk+1＝1) ＝P(Xk＋Xk+1＝1，Xk-1＋Xk-2＝1)＝P(Xk＝0，Xk+1＝1，Xk+2＝0)＋P(Xk＝1，Xk-1＝0，Xk+2＝1) ＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p(1－p)， ∴cov(Yk，Yk+1)＝E(Yk，Yk+1)＝EYk.EYk-1 ＝p(1－p)－4p2(1－p)2， 故[*]＝2np(1－p)[1－2p(1－p)]＋2[*]cov(Yk，Yk+1) ＝2np(1－p)[1－2p(n－1)]＋2(n－1)[p(1－p)－4p2(1－p)2] ＝2p(1－p)[2n－6np(1－p)＋4p(1－p)－1]．
解析
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考研数学一

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