2. 考研
  3. 设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．

设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．

admin2017-06-26  39
问题 设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．
选项
答案λ2λ3≠0
解析 λ2λ3≠0．设k1α1＋k2A(α1＋α2)＋k3A2(α1＋α2＋α3)＝0，由Aαj＝λjαj(j＝1，2，3)，得k1α1＋k2(λ1α1＋λ2α2)＋k3(λ12α1＋λ22α2＋λ32α3)＝0，即(k1＋λ1k2＋λ12k3)α1＋(λ2k2＋λ22k3)α2＋(λ32k3)α3＝0，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组

    故向量组α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关方程组(*)只有零解方程组(*)的系数行列式△＝λ2λ32≠0，故所求条件为λ2λ3≠0．
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考研数学三

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