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设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．
设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．
admin
2017-06-26
42
问题
设3阶方阵A的特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
互不相同，α
1
，α
2
，α
3
依次为对应于λ
1
，λ
2
，λ
3
的特征向量，则向量组α
1
，A(α
1
＋α
2
)，A
2
(α
1
＋α
2
＋α
3
)线性无关的充分必要条件是λ
1
，λ
2
，λ
3
满足_______．
选项
答案
λ
2
λ
3
≠0
解析
λ
2
λ
3
≠0．设k
1
α
1
＋k
2
A(α
1
＋α
2
)＋k
3
A
2
(α
1
＋α
2
＋α
3
)＝0，由Aα
j
＝λ
j
α
j
(j＝1，2，3)，得k
1
α
1
＋k
2
(λ
1
α
1
＋λ
2
α
2
)＋k
3
(λ
1
2
α
1
＋λ
2
2
α
2
＋λ
3
2
α
3
)＝0，即(k
1
＋λ
1
k
2
＋λ
1
2
k
3
)α
1
＋(λ
2
k
2
＋λ
2
2
k
3
)α
2
＋(λ
3
2
k
3
)α
3
＝0，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组
故向量组α
1
，A(α
1
＋α
2
)，A
2
(α
1
＋α
2
＋α
3
)线性无关
方程组(*)只有零解
方程组(*)的系数行列式△＝λ
2
λ
3
2
≠0，故所求条件为λ
2
λ
3
≠0．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SNH4777K
0
考研数学三
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