求二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2—6x2x3+2x1x3的标准形．

admin2020-09-25 79

问题求二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁x₂—6x₂x₃+2x₁x₃的标准形．

选项

答案由题意知二次型中没有平方项，故作可逆线性变换[*] 代入原二次型可得 f(x₁，x₂，x₃)=2(y₁+y₂)(y₁—y₂)一6(y₁—y₂)y₃+2(y₁+y₂)y₃ =2y₁²一2y₂²一4y₁y₃+8y₂y₃=2(y₁一y₃)²一2y₂²一2y₃²+8y₂y₃，再作可逆变换[*]代入上式得 f(x₁，x₂，x₃)=2z₁²一2z₂²一2z₃²+8z₂z₃=2z₁²一2(z₂—2z₃)²+6z₃²，最后我们作可逆变换[*] 代入上式得f(x₁，x₂，x₃)=2ω₁²一2ω₂²+6ω₃²；即为标准形．这三次变换相当于一次总的线性变换 [*]

解析

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考研数学三

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