2. 考研
  3. [2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1，2，则( )．

[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1，2，则( )．

admin2019-04-15  23
问题 [2016年]  设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1，2，则(    )．
选项 A、a＞1
B、a＜－2
C、—2＜a＜1
D、a一1或a=－2
答案C
解析 解一  注意到A的主对角线上的元素全为a，非主对角线上的元素全为1，由命题2．5．1．7即知A的三个特征值分别为λ1=a+(n－1)b=a+2，λ2=λ3=a－b=a－1．又由题设知A的正、负惯性指数为1，2，故a+2＞0，a－1＜0，即－2＜a＜1．仅(C)入选．
    解二  A的特征值也可由特征值定义|λE－A|=0求之．由
            
得到A的特征值λ1=a+2，λ2=λ3=a－1．下同解一，略．
    注：命题2．5．1．7  设n阶矩阵A的主对角线上元素全为a，非主对角线上元素全为b，则由|A|=[a+(n－1)b](a－n)n－1知，A的n个特征值为
                 λ1=a+(n－1)b，  λ2=λ3=…=λn=a－b．
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考研数学三

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