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[2016年] 设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1,2,则( ).
[2016年] 设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1,2,则( ).
admin
2019-04-15
23
问题
[2016年] 设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=a(x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
)+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
+2x
3
x
1
的正、负惯性指数分别为1,2,则( ).
选项
A、a>1
B、a<-2
C、—2<a<1
D、a一1或a=-2
答案
C
解析
解一
注意到A的主对角线上的元素全为a,非主对角线上的元素全为1,由命题2.5.1.7即知A的三个特征值分别为λ
1
=a+(n-1)b=a+2,λ
2
=λ
3
=a-b=a-1.又由题设知A的正、负惯性指数为1,2,故a+2>0,a-1<0,即-2<a<1.仅(C)入选.
解二 A的特征值也可由特征值定义|λE-A|=0求之.由
得到A的特征值λ
1
=a+2,λ
2
=λ
3
=a-1.下同解一,略.
注:命题2.5.1.7 设n阶矩阵A的主对角线上元素全为a,非主对角线上元素全为b,则由|A|=[a+(n-1)b](a-n)
n-1
知,A的n个特征值为
λ
1
=a+(n-1)b, λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=a-b.
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考研数学三
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