设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则( ).

admin2019-04-08  21

问题 设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则(    ).

选项 A、当m>n时,必有行列式|AB|≠0
B、当m>n时,必有行列式|AB|=0
C、当n>m时,必有行列式|AB|≠0
D、当n>m时,必有行列式|AB|=0

答案B

解析 利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项.因AB为m阶矩阵,行列式|AB|是否等于零取决于其秩是否小于m.利用矩阵秩的两不大于法则得到m>n时,有
秩(A)≤min{m,n}=n<m,  秩(B)≤min{m,n}=n<m.
再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A),秩(B)}<m,而AB为m阶矩阵,故|AB|=0.仅B入选.
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