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  3. [2011年] 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分 I=xyf″xy(x，y)dxdy．

[2011年] 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分 I=xyf″xy(x，y)dxdy．

admin2019-05-10  106
问题 [2011年]  已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分
I=xyf″xy(x，y)dxdy．
选项
答案将二重积分化为累次积分直接进行计算．同定积分一样，要让被积函数含偏导的子函数先进入微分号，用分部积分法求出二元函数． 解一 将二重积分化为累次积分进行计算得到 I=[*]xyf″xy(x，y)dxdy=∫01ydy∫01xf″xy(x，y)dx=∫01ydy∫01xdf′y(x，y) =∫01[xf′y(x，y)∣01一∫01f′y(x，y)dx]ydy=∫01f′y(1,y)ydy一∫01∫01f′y(x，y)dxdy =－∫01dx∫01yf′y(x，y)dy(因f(1，y)=0，故f′y(1，y)=0) =－∫01[∫01ydf(x,y)]dx=－[∫01yf(x,y)∣01dx－∫01dx∫01(x,y)dy] =一∫01f(x，1)dx+∫01∫01f(x，y)dxdy=[*]f(x，y)dxdy=a． 解二 因f(x，y)的二阶导数连续，故f″xy(x，y)=f″xy(x，y)，所以f″xy(x，y)dy=f″yx(x，y)dy=df′x(x，y)， 又f′x(x，y)dx=df(x，y)，则 I=∫01xdx∫01yf″xy(x，y)dy=∫01xdx∫01yf″yx(x，y)dy=∫01xdx∫01ydf′x(x，y) =∫01[yf′x(x，y)∣01—∫01f′x(x，y)dy]xdx=∫01f′x(x，1)dx一∫01xdx∫01f′x(x，y)dy =一∫01dy∫01xf′(x，y)dx (因f(x，1)=0，故f′x(x，1)=0) =∫01dy∫01xdf(x，y)=一∫01[xf(x，y)∣01一∫01f(x，y)dx]dy=∫01∫01f(x，y)dxdy=a．
解析
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考研数学二

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