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[2011年] 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分 I=xyf″xy(x,y)dxdy.
[2011年] 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分 I=xyf″xy(x,y)dxdy.
admin
2019-05-10
75
问题
[2011年] 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分
I=
xyf″
xy
(x,y)dxdy.
选项
答案
将二重积分化为累次积分直接进行计算.同定积分一样,要让被积函数含偏导的子函数先进入微分号,用分部积分法求出二元函数. 解一 将二重积分化为累次积分进行计算得到 I=[*]xyf″
xy
(x,y)dxdy=∫
0
1
ydy∫
0
1
xf″
xy
(x,y)dx=∫
0
1
ydy∫
0
1
xdf′
y
(x,y) =∫
0
1
[xf′
y
(x,y)∣
0
1
一∫
0
1
f′
y
(x,y)dx]ydy=∫
0
1
f′
y
(1,y)ydy一∫
0
1
∫
0
1
f′
y
(x,y)dxdy =-∫
0
1
dx∫
0
1
yf′
y
(x,y)dy(因f(1,y)=0,故f′
y
(1,y)=0) =-∫
0
1
[∫
0
1
ydf(x,y)]dx=-[∫
0
1
yf(x,y)∣
0
1
dx-∫
0
1
dx∫
0
1
(x,y)dy] =一∫
0
1
f(x,1)dx+∫
0
1
∫
0
1
f(x,y)dxdy=[*]f(x,y)dxdy=a. 解二 因f(x,y)的二阶导数连续,故f″
xy
(x,y)=f″
xy
(x,y),所以f″
xy
(x,y)dy=f″
yx
(x,y)dy=df′
x
(x,y), 又f′
x
(x,y)dx=df(x,y),则 I=∫
0
1
xdx∫
0
1
yf″
xy
(x,y)dy=∫
0
1
xdx∫
0
1
yf″
yx
(x,y)dy=∫
0
1
xdx∫
0
1
ydf′
x
(x,y) =∫
0
1
[yf′
x
(x,y)∣
0
1
—∫
0
1
f′
x
(x,y)dy]xdx=∫
0
1
f′
x
(x,1)dx一∫
0
1
xdx∫
0
1
f′
x
(x,y)dy =一∫
0
1
dy∫
0
1
xf′(x,y)dx (因f(x,1)=0,故f′
x
(x,1)=0) =∫
0
1
dy∫
0
1
xdf(x,y)=一∫
0
1
[xf(x,y)∣
0
1
一∫
0
1
f(x,y)dx]dy=∫
0
1
∫
0
1
f(x,y)dxdy=a.
解析
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考研数学二
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