求曲线χ＝acos3t，y＝asin3t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

admin2016-10-21 60

问题求曲线χ＝acos³t，y＝asin³t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

选项

答案如图3．32，曲线关于y＝±χ对称，只需考察t∈[*]一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(χ(t)，y(t))＝(acos³t,asin³t)，它到直线y＝χ的距离为l(t)＝[*] [*] 曲线微元的弧长ds＝[*]＝3a｜sintcost｜dt，它绕y＝χ旋转所得曲面微元的面积为dS＝2πl(t)ds＝2π[*]．3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为 [*]

解析

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考研数学二

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设a1＞0，an+1==ln(1+an)，证明：存在，并求此极限．
计算二重积分|x2+y2－1|dδ,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}.
计算积分,其中D={(x,y)|0≤y≤x,x2+y2≤2x}.
若A是n阶实对称矩阵，证明：A2=O与A=O可以相互推出.
设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f’’(x)a，f’(b)>0，f’(b)0，则方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根.
设f(χ)在区间[0，1]上可积，当0≤χ≤1时，｜f(χ)－f(y)｜≤｜arctanχ－arctany｜，又f(1)＝0，证明：｜∫01f(χ)dχ｜≤ln2．

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