求曲线χ＝acos3t，y＝asin3t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

admin2016-10-21 93

问题求曲线χ＝acos³t，y＝asin³t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

选项

答案如图3．32，曲线关于y＝±χ对称，只需考察t∈[*]一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(χ(t)，y(t))＝(acos³t,asin³t)，它到直线y＝χ的距离为l(t)＝[*] [*] 曲线微元的弧长ds＝[*]＝3a｜sintcost｜dt，它绕y＝χ旋转所得曲面微元的面积为dS＝2πl(t)ds＝2π[*]．3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为 [*]

解析

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