求曲线χ＝acos3t，y＝asin3t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

admin2016-10-21 50

问题求曲线χ＝acos³t，y＝asin³t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

选项

答案如图3．32，曲线关于y＝±χ对称，只需考察t∈[*]一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(χ(t)，y(t))＝(acos³t,asin³t)，它到直线y＝χ的距离为l(t)＝[*] [*] 曲线微元的弧长ds＝[*]＝3a｜sintcost｜dt，它绕y＝χ旋转所得曲面微元的面积为dS＝2πl(t)ds＝2π[*]．3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为 [*]

解析

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考研数学二

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[*]
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx－2ydy,并且f(1,1)=2,求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值。
设z=z(x,y)是由方程x2+y2－z=ψ(x+y+z)所确定的函数，其中ψ具有2阶导数且ψ’≠－1.求dz.
已知一抛物线通过x轴上的两点A(1,0),B(3,0).求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积。
对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a]证明g’(x)是单调增加的。
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且,则________。
∫x2arctanxdx=________．
设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(,0).求L位于第一象限部分的一条切线，使得该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小。
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

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