求曲线χ=acos3t,y=asin3t绕直线y=χ旋转一周所得曲面的面积.

admin2016-10-21  31

问题 求曲线χ=acos3t,y=asin3t绕直线y=χ旋转一周所得曲面的面积.

选项

答案如图3.32,曲线关于y=±χ对称,只需考察t∈[*]一段曲线.现在没有现成的公式可用.用微元法导出旋转面的面积公式.任取曲线的小微元,端点坐标为(χ(t),y(t))=(acos3t,asin3t),它到直线y=χ的距离为l(t)=[*] [*] 曲线微元的弧长ds=[*]=3a|sintcost|dt,它绕y=χ旋转所得曲面微元的面积为dS=2πl(t)ds=2π[*].3a|sintcost|dt,因此整个旋转面的面积为 [*]

解析
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