求曲线χ＝acos3t，y＝asin3t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

admin2016-10-21 92

问题求曲线χ＝acos³t，y＝asin³t绕直线y＝χ旋转一周所得曲面的面积．

选项

答案如图3．32，曲线关于y＝±χ对称，只需考察t∈[*]一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(χ(t)，y(t))＝(acos³t,asin³t)，它到直线y＝χ的距离为l(t)＝[*] [*] 曲线微元的弧长ds＝[*]＝3a｜sintcost｜dt，它绕y＝χ旋转所得曲面微元的面积为dS＝2πl(t)ds＝2π[*]．3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为 [*]

解析

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考研数学二

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设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．
计算二重积分|x2+y2－1|dδ,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}.
计算,其中D是由抛物线y2=x与直线y=x所围成的区域。
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx－2ydy,并且f(1,1)=2,求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值。
设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。
求微分方程y"－2y’－e2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解。
设(X，Y)为连续型随机向量，已知X的密度函数fX(x)及对一切x，在X=x的条件下Y的条件密度fY|X(y|x)．求：(1)密度函数f(x，y)；(2)Y的密度函数fY(y)；(3)条件密度函数fX|Y(x|y)．

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