设A是3阶不可逆矩阵,α1,α2是Ax=0的基础解系,α3是属于特征值λ=1的特征向量,下列不是A的特征向量的是

admin2016-10-20  40

问题 设A是3阶不可逆矩阵,α1,α2是Ax=0的基础解系,α3是属于特征值λ=1的特征向量,下列不是A的特征向量的是

选项 A、α1+3α2
B、α12
C、α13
D、2α3

答案C

解析 如Aα1=λα1,Aα2=λα2,则
A(k1α1+k2α2)=k11+k22=k1λα1+k2λα2=λ(k1α1+k2α2).
因此k1α1+k2α2是A的特征向量,所以(A)、(B)、(D)均正确.
    设Aβ1=λβ1,Aβ2=μβ2,λ≠μ,若A(β12)=k(β12),则
    λβ1+μβ2=kβ1+kβ2
    即有    (λ-k)β1+(μ-k)β2=0.
    因为λ-k,μ-k不全为0,与β1,β2是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.从而α13不是A的特征向量.故应选(C).
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