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设f(x)在(一∞，+∞)上存在二阶导数，f’(0)0．证明： 无论a>0，a

admin2014-04-16  65
问题 设f(x)在(一∞，+∞)上存在二阶导数，f’(0)<0，f’(0)=a，f’’(x)>0．证明：
无论a>0，a<0，还是a=0，f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；
选项
答案若f(x)有三个或三个以卜零点．则由罗尔定理知f’(x)至少有两个零点，对f’(x)再用罗尔定理知，f’’(x)至少有一个零点．与题设f’’(x)无零点矛盾．所以f(x)至多有两个零点．1．2下证f(x)至少有一个零点．设f’(0)=a＞0，由泰勒公式：[*]当x≠0时，取[*]有f(x)＞0由介值定理知，在区间(0，+∞)上f(x)至少有一个零点．又因当x＞0时f’(x)＞f’(0)＞0,故在区间(0，+∞)上至多有一个零点，故有仅有一个零点。设f’(0)=a＜0，类似可证往区间(一∞，0)上有且仅有一个零点．设f’(0)=a=0,由连续函数保号性及f’(x)，格单增知．存在δ＞0，当x∈(0,δ]时,f(x)＜0)且．f’(δ)>0．在点x=δ处用泰勒公式，有[*]取[*]，有f(x)＞0．由介值定理知，在区间(δ，一∞)上,f(x)至少有一个零点．又当x＞0时，f’(0)＞f’(0)=0．故在区间(0，+∞)上多至多有一个零点，故有一个零点,同理可证，此时在区间(一∞,0)上也有且仅有一个零点．总之，不论，f’(0)=a＞(＜0或=0)f(x)，f(x)在(－∞，+∞)上至少有一个零点．(I)证毕．
解析
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考研数学二

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