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设A,B是两个n阶方阵,且满足A2=E,B2=E,试证明:(AB)2=EAB=BA.
设A,B是两个n阶方阵,且满足A2=E,B2=E,试证明:(AB)2=EAB=BA.
admin
2020-09-29
44
问题
设A,B是两个n阶方阵,且满足A
2
=E,B
2
=E,试证明:(AB)
2
=E
AB=BA.
选项
答案
充分性[*]:由于AB=BA,等式两端同时左乘AB可得(AB)
2
=(AB)(BA)=A(B
2
)A, 因为A
2
=B
2
=E,所以(AB)
2
=A.A=A
2
=E. 必要性[*]:由于(AB)
2
=E,所以E=(AB)
2
=(AB)(AB)=A(BA)B, 等式两端左乘A,右乘B可得AB=AA(BA)BB=A
2
(BA)B
2
, 而A
2
=B
2
=E,所以AB=BA.所以(AB)
2
=E[*]AB=BA.
解析
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考研数学一
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