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  3. 设A，B是两个n阶方阵，且满足A2=E，B2=E，试证明：(AB)2=EAB=BA．

设A，B是两个n阶方阵，且满足A2=E，B2=E，试证明：(AB)2=EAB=BA．

admin2020-09-29  29
问题 设A，B是两个n阶方阵，且满足A2=E，B2=E，试证明：(AB)2=EAB=BA．
选项
答案充分性[*]：由于AB=BA，等式两端同时左乘AB可得(AB)2=(AB)(BA)=A(B2)A， 因为A2=B2=E，所以(AB)2=A.A=A2=E． 必要性[*]：由于(AB)2=E，所以E=(AB)2=(AB)(AB)=A(BA)B， 等式两端左乘A，右乘B可得AB=AA(BA)BB=A2(BA)B2， 而A2=B2=E，所以AB=BA．所以(AB)2=E[*]AB=BA．
解析
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考研数学一

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