(2002年试题，七)(1)验证函数∞)满足微分方程y’’+y’+y=ex； (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

admin2014-09-22 53

问题 (2002年试题，七)(1)验证函数

∞)满足微分方程y^’’+y^’+y=e^x；
(2)利用(1)的结果求幂级数

的和函数．

选项

答案(1)由题设，结合幂级数可以逐项求导的性质，先求y^’(x)和y^’’(x)，即由[*]于是[*]因此y(x)是微分方程y^’’+y^’+y=e^x的解．(2)通过求(1)中微分方程来得到y(x)，该微分方程相应的齐次方程的特征方程为λ²+λ+1=0，从而特征根为[*]因此原方程相应的齐次线性方程的通解为[*]设原方程特解为y^*=Ae^x。则代入原方程有，3Ae^x=e^x，即[*]综上，原方程通解为[*]由题设(1)可知y(0)=1，y^’(0)=0，可解出[*]．C₂=0，所以幂级数[*]的和函数为[*]

解析

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考研数学一

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