2. 考研
  3. 求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线y=x2，x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体； (Ⅱ)由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)，y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线y=x2，x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体； (Ⅱ)由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)，y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

admin2018-06-27  28
问题 求下列旋转体的体积V：
(Ⅰ)由曲线y=x2，x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体；
(Ⅱ)由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)，y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体．
选项
答案(Ⅰ)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 V=∫01π[ [*]-(x2)2]dx=π∫01(x-x4)dx [*] (Ⅱ)如图3．3，所求体积为 V=2∫02πayxdx=2π∫02πa(1-cost)a(t-sint)a(1-cost)dt =2πa3∫02π(1-cost)2(t-sint)dt =2πa3∫02π(1-cost)2tdt-2πa3∫-ππ(1-cost)2sintdt =2πa3∫02π(1-cost)2tdt [*] 2πa3∫-ππ[1-cos(u+π)]2(u+π)du =2πa3∫-ππ(1+cosu)2udu+2π2a3∫-ππ(1+cosu)2du =4π2a3∫0π(1+cosu)2du=4π2a3∫ 0π(1+2cosu+cos2u)du=4π2a3[*] =6π3a3． [*]
解析
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考研数学二

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