[2012年] 设A为三阶矩阵,P为三阶可逆矩阵,且P-1AP=. 若P=[α1,α2,α3],Q=[α1+α2,α2,α3],则Q-1AQ=( ).

admin2019-05-10  29

问题 [2012年]  设A为三阶矩阵,P为三阶可逆矩阵,且P-1AP=.
若P=[α1,α2,α3],Q=[α12,α2,α3],则Q-1AQ=(    ).

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析  注意到Q的列向量为α1,α2,α3的线性组合,首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式,再代入Q-1AQ中进行运算,即可求得正确选项.
解一  因Q=[α12,α2,α3]=[α1,α2,α3]
因而Q-1AQ=,故

仅(B)入选.
解二  用初等矩阵表示,有Q=PE12:(1),由E12-1(1)=E12(一1)得到
  Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)
=
仅(B)入选.
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