(15年)已知函数f(x，y)满足fxy"=(x，y)=2(y+1)ex，fx’(x,0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

admin2021-01-19 44

问题 (15年)已知函数f(x，y)满足f_xy"=(x，y)=2(y+1)e^x，f_x’(x,0)=(x+1)e^x，f(0，y)=y²+2y，求f(x，y)的极值．

选项

答案由f_xy"=2(y+1)e^x，得f_x’=(y+1)²e^x+φ(x)．因为f_x’(x，0)=(x+1)e^x，所以e^x+φ(x)=(x+1)e^x．得φ(x)=xe^x，从而f_x’=(y+1)²e^x+xe^x．对x积分得 f(x，y)=(y+1)²e^x+(x一1)e^x+ψ(y)．因为f(0，y)=y²+2y，所以ψ(y)=0，从而 f(x，y)=(x+y²+2y)e^x 于是f_y’=(2y+2)e^x，f_xy"=(x+y²+2y+2)e^x，f_yy"=2e^x。令f_x’=0，f_y’=0，得驻点(0，一1)，所以 A=f_xx"(0．一1)=1，B=f_xy"(0．一1)=0，C=f_yy"(0．一1)=2．由于AC-B²＞0，A＞0，所以极小值为f(0，一1)=一1.

解析

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