首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
admin
2019-08-01
75
问题
(13)设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
(Ⅰ)记x=[*]，由于 f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+x
3
a
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=2[(x
1
，x
2
，x
3
)[*](a
1
，a
2
，a
3
)[*] ]+[(x
1
，x
2
，x
3
)[*](b
1
，b
2
，b
3
)[*] ] =2x
T
(αα
T
)x+x
T
(ββ
T
)x =x
T
(2αα
T
+ββ
T
)x
T
， 又2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵，所以二次型厂的矩阵为2αα
T
+ββ
T
． (Ⅱ)记矩阵A=2αα
T
+ββ
T
．由于α，β正交且为单位向量，即α
T
α=1，β
T
β=0，所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α， Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=β， 于是λ
1
=2，λ
2
=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2， 所以λ
3
=0是矩阵A的特征值．由于厂在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PDN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设f(x)为连续函数，计算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x2，y=1，x=-1围成的区域．
计算∫1+∞
曲线x=a(cost+tsint)，y=a(sint-tcost)(0≤t≤2π)的长度L=_________．
设f(x)在[0，+∞)连续，f(x)=A≠0，证明：∫01f(x)dx=A.
运用导数的知识作函数y=x+的图形．
计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：∈(a，b)使得f(b)-(b-a)2f’’(ξ)．
设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证：∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx．
用配方法化下列二次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3．
用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ2χ3为标准二次型．
随机试题
所谓()是会使人的心理和精神状态受到不利影响的声音。
边缘性龈炎的最主要治疗原则是
风心病心衰用洋地黄和利尿剂治疗，出现恶心、食欲不振，心电图为室性期前收缩二联律。下列哪一种情况最可能
性温，既补肾，又祛风湿的药是()。
完善社会主义市场经济体制还要求继续改革行政管理体制，合理划分()经济社会事务的管理责权，全面推进经济法制建设，加强执法和监督。
某城市跨线桥工程，上部结构为现浇预应力混凝土连续梁，其中主跨跨径为30m并跨越一条宽20m河道；桥梁基础采用直径1.5m的钻孔桩，承台尺寸为12.0m×7.0m×2.5m(长×宽×高)，承台顶标高为+7.0m，承台边缘距驳岸最近距离为1.5m；河道常水位为
下列关于投资者的风险承受能力和意愿的说法中，正确的是()。
幂级数的和函数为_______．
Recently,thenewshasbeenfilledwithreportsofthe"birdflu".46．Asiaisonaregion-widehealthalert,withgovernments
考生文件夹下存在一个数据库文件“samp2．accdb”，里面已经设计好表对象“tQuota”和“tStock”，试按以下要求完成设计：创建一个查询，计算每类产品不同单位的库存金额总计。要求，行标题显示“产品名称”，列标题显示“单位”。所建查询名为“q
最新回复
(
0
)
