(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2019-08-01 79

问题 (13)设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂².

选项

答案(Ⅰ)记x=[*]，由于 f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+x₃a₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)² =2[(x₁，x₂，x₃)[*](a₁，a₂，a₃)[*] ]+[(x₁，x₂，x₃)[*](b₁，b₂，b₃)[*] ] =2x^T(αα^T)x+x^T(ββ^T)x =x^T(2αα^T+ββ^T)x^T，又2αα^T+ββ^T为对称矩阵，所以二次型厂的矩阵为2αα^T+ββ^T． (Ⅱ)记矩阵A=2αα^T+ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα=1，β^Tβ=0，所以 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α， Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=β，于是λ₁=2，λ₂=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2，所以λ₃=0是矩阵A的特征值．由于厂在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学二

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(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

考研数学二

求齐次方程组的基础解系．

设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β1=(b11，b12，…，b1×2n)T，β2=(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn=(bn1，bn2，…，bn×2n)T．证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

设函数f(x)在x=x0处存在f’+(x0)与f’-(x0)，但f’+(x0)≠f’-(x0)，说明这一事实的几何意义．

设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则

由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=_________.

计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)，α2=(2，1，1)，α3=(-1，2，-3)*都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．

用配方法化下列二次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝2χ1χ2＋2χ1χ3＋6χ2χ3．

支气管扩张病变可分为：

以下药物停药后会损害食管的有()。

工程各参建单位填写的工程档案应以(　　)等为依据。

()是指销售产品或者提供服务取得的收入，是项目运营期现金流入的主体。

根据《水利水电工程标准施工招标文件》，由于发包人责任引起的工期延误事件发生后，若发包人要求承包人修订的进度计划仍应保证工程按期完工，则由于采取赶工措施所增加的费用应由()承担。

在工作中，团结合作原则要求银行业从业人员应该树立()。

ItisgenerallyrecognizedintheworldthatthesecondGulfWarinIraqisacrucialtestofhigh-speedWeb.Fordecades,Ameri

假设EXAM.DOC文件夹存储在EXAM1文件夹中，EXAM2文件夹存储在EXAM1文件夹中，EXAM1文件夹存储在D盘的根文件夹中，当前文件夹为EXAM2，那么，正确描述EXAM.DOC文件的相对路径为(41)。

Asthemountainswerecoveredwitha______ofcloud,wecouldn’tseetheirtops.

(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

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求齐次方程组的基础解系．

设齐次方程组(Ⅰ)有一个基础解系β1=(b11，b12，…，b1×2n)T，β2=(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn=(bn1，bn2，…，bn×2n)T．证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)的通解．

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

设函数f(x)在x=x0处存在f’+(x0)与f’-(x0)，但f’+(x0)≠f’-(x0)，说明这一事实的几何意义．

设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则

由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=_________.

计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)*，α2=(2，1，1)*，α3=(-1，2，-3)*都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．

用配方法化下列二次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝2χ1χ2＋2χ1χ3＋6χ2χ3．

支气管扩张病变可分为：

以下药物停药后会损害食管的有()。

工程各参建单位填写的工程档案应以( )等为依据。

()是指销售产品或者提供服务取得的收入，是项目运营期现金流入的主体。

根据《水利水电工程标准施工招标文件》，由于发包人责任引起的工期延误事件发生后，若发包人要求承包人修订的进度计划仍应保证工程按期完工，则由于采取赶工措施所增加的费用应由()承担。

在工作中，团结合作原则要求银行业从业人员应该树立()。

ItisgenerallyrecognizedintheworldthatthesecondGulfWarinIraqisacrucialtestofhigh-speedWeb.Fordecades,Ameri

假设EXAM.DOC文件夹存储在EXAM1文件夹中，EXAM2文件夹存储在EXAM1文件夹中，EXAM1文件夹存储在D盘的根文件夹中，当前文件夹为EXAM2，那么，正确描述EXAM.DOC文件的相对路径为(41)。

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设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)，α2=(2，1，1)，α3=(-1，2，-3)*都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．

工程各参建单位填写的工程档案应以(　　)等为依据。