2. 考研
  3. (13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2019-08-01  48
问题 (13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
选项
答案(Ⅰ)记x=[*]，由于 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+x3a3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2 =2[(x1，x2，x3)[*](a1，a2，a3)[*] ]+[(x1，x2，x3)[*](b1，b2，b3)[*] ] =2xT(ααT)x+xT(ββT)x =xT(2ααT+ββT)xT， 又2ααT+ββT为对称矩阵，所以二次型厂的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)记矩阵A=2ααT+ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=0，所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2α， Aβ=(2ααT+ββT)β=β， 于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2， 所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于厂在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析
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考研数学二

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