设函数f(x)在R上连续,且|f(x)|≤M.   (1)试证明:微分方程y’+y=f(x)在区间R上存在一个有界的解,并求此解. (2)若f(x)是以ω为周期的函数,则上一题中的解也是一个以ω为周期的函数.

admin2020-03-05  40

问题 设函数f(x)在R上连续,且|f(x)|≤M.     
(1)试证明:微分方程y’+y=f(x)在区间R上存在一个有界的解,并求此解.
(2)若f(x)是以ω为周期的函数,则上一题中的解也是一个以ω为周期的函数.

选项

答案微分方程y’+y=f(x)的通解为y(x)=e-x[c+∫0xetf(t)dt],其中c为任意常数. (1)因为函数f(x)在R上连续,取c=∫-∞0etf(t)dt(由假设,此广义积分是收敛的),则 y(x)=e-x-∞xetf(t)dt由于在区间R上,|f(x)|≤M,从而|y(x)|≤M,即为所给微分方程的一个有界解. (2)设f(x+ω)=f(x),则对上一题中的解y(x),当x∈R时,有 y(x+ω)=e-(x+ω)-∞(x+ω)etf(t)dt[*]e-(x+ω)-∞xeu+ωf(u+ω)du =e-xe-ω-∞xeu+ωf(u)du=e-x-∞xeuf(u)du=y(x),所以,所给微分方程的通解y(x)也是一个以ω为周期的函数.

解析 本题的第一部分应先求其通解,再验证它的有界性;第二部分则是判断(1)中的解具有周期性.
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