2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得 ∫01f(x)dx=0．

设f(x)在[0，1]上连续，且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得 ∫01f(x)dx=0．

admin2017-07-26  26
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得
    ∫01f(x)dx=0．
选项
答案令F(x)=∫0x(x—u)f(u)du，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=0， F(1)=∫01(1一u)f(u)du=∫01f(u)du—∫01u(u)du=∫01f(u)du—∫01f(u)du=0， 即F(x)在[0，1]上满足了洛尔定理的全部条件．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即 [∫0x(x—u)f(u)du]’｜x=ξ=[∫01f(t)dt+xf(x)—xf(x)]｜x=ξ=0， 故有∫0ξf(x)dx=0． 为辅助函数．
解析 欲证∫0ξf(x)dx=0，若用F(x)=∫0xf(x)dt作为辅助函数，用零值定理难以验证F(0)F(1)＜0．于是，改为令F’(x)=∫0xf(t)dt．
  作辅助函数F(x)=∫0x[∫0uf(t)dt]du=u∫0uf(t)dt｜0x—∫0xuf(u)du
    =x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du=∫0x(x一u)f(u)du，
再用洛尔定理证明．
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考研数学三

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