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设f(x)在[0,1]上连续,且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得 ∫01f(x)dx=0.
设f(x)在[0,1]上连续,且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得 ∫01f(x)dx=0.
admin
2017-07-26
30
问题
设f(x)在[0,1]上连续,且∫
0
1
xf(x)dx=∫
0
1
f(x)dx,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得
∫
0
1
f(x)dx=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
(x—u)f(u)du,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 F(0)=0, F(1)=∫
0
1
(1一u)f(u)du=∫
0
1
f(u)du—∫
0
1
u(u)du=∫
0
1
f(u)du—∫
0
1
f(u)du=0, 即F(x)在[0,1]上满足了洛尔定理的全部条件.由洛尔定理,存在点ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0,即 [∫
0
x
(x—u)f(u)du]’|
x=ξ
=[∫
0
1
f(t)dt+xf(x)—xf(x)]|
x=ξ
=0, 故有∫
0
ξ
f(x)dx=0. 为辅助函数.
解析
欲证∫
0
ξ
f(x)dx=0,若用F(x)=∫
0
x
f(x)dt作为辅助函数,用零值定理难以验证F(0)F(1)<0.于是,改为令F’(x)=∫
0
x
f(t)dt.
作辅助函数F(x)=∫
0
x
[∫
0
u
f(t)dt]du=u∫
0
u
f(t)dt|
0
x
—∫
0
x
uf(u)du
=x∫
0
x
f(u)du一∫
0
x
uf(u)du=∫
0
x
(x一u)f(u)du,
再用洛尔定理证明.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SuH4777K
0
考研数学三
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