2. 考研
  3. 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n．

设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n．

admin2021-11-09  73
问题 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n．
选项
答案设r(A)=r，所以存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使 [*] 将矩阵Q-1B分块为 [*] 其中，B1是r×p矩阵，B2是(n-r)×p矩阵，由于 [*] 所以 [*] 又 [*] 故 r(AB)≥r(A)+r(B)-n． 注：当AB=O时，有 r(A)+r(B)≤n． 这也是矩阵求秩的一个基本公式．
解析 本题考查用分块矩阵的理论证明求秩的公式．
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考研数学二

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