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汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车A,B,C同时进入该加油站,假设A、B首先开始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油.假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布.(I)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度;(Ⅱ)求
汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车A,B,C同时进入该加油站,假设A、B首先开始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油.假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布.(I)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度;(Ⅱ)求
admin
2018-11-20
53
问题
汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车A,B,C同时进入该加油站,假设A、B首先开始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油.假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布.(I)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度;(Ⅱ)求第三辆车C在加油站度过时间S的概率密度.
选项
答案
首先我们需要求出T、S与各辆车加油时间X
i
(i=1,2,3)之间的关系.假设第i辆车加油时间为X
i
=1,2,3),则X
i
独立同分布,且概率密度都为 [*] 依题意,第三辆车C在加油站等待加油时间T=min(X
1
,X
2
),度过时间=等待时间+加油时间,即 S=T+X
3
=min(X
1
,X
2
)+X
3
. (I)由于T=min(X
1
,X
2
),其中X
1
与X
2
独立,所以T的分布函数 F
T
(t)=P{min(X
1
,X
2
)≤t}=1—P{min(X
1
,X
2
)>t}=1—P{X
1
>t}P{X
2
>t} [*] T的密度函数f
T
(t)=[*]即T=min(X
1
,X
2
)服从参数为2λ的指数分布. (Ⅱ)S=T+X
3
=min(X
1
,X
2
)+X
3
,T与X
3
独立且已知其概率密度,由卷积公式求得S的概率密度为 f
S
(s)=∫
-∞
+∞
f
T
(t)f
3
(s一t)dt=∫
0
+∞
2λe
-2λt
f
3
(s一t)dt [*]∫
s
-∞
2λe
-2λ(s-x)
f
3
(x)d(一x) =∫
-∞
s
2λe
-2λs
.e
2λs
f
3
(x)dx [*]
解析
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考研数学三
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