2. 考研
  3. (06年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A； (Ⅲ)求A

(06年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A； (Ⅲ)求A

admin2017-05-26  77
问题 (06年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解．
    (Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
    (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A；
    (Ⅲ)求A及(A＝E)6，其中E为3阶单位矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3．所以 [*] 因为Aα1＝0，Aα2＝0，即 Aα1＝0α1，Aα2＝0α2 故λ1＝λ2＝0是A的二重特征值，α1，α2为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量；λ3＝3是A的一个特征值，α3＝(1，1，1)T为A的属于特征值3的特征向量． 总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k1α1＋k2α2(k1，k2不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k3α3(k3≠0)． (Ⅱ)对α1，α2正交化．令ξ1＝α1(－1，2，－1)T ξ2＝[*] 再分别将ξ1，ξ2，ξ3单位化，得 [*] 那么Q为正交矩阵，且QTAQ＝A．
解析
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考研数学三

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