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  3. 已知随机变量X的分布函数FX(χ)＝(λ＞0)，Y＝lnX． (Ⅰ)求Y的概率密度fY(y)； (Ⅱ)计算P{Y≥k}．

已知随机变量X的分布函数FX(χ)＝(λ＞0)，Y＝lnX． (Ⅰ)求Y的概率密度fY(y)； (Ⅱ)计算P{Y≥k}．

admin2018-11-23  29
问题 已知随机变量X的分布函数FX(χ)＝(λ＞0)，Y＝lnX．
    (Ⅰ)求Y的概率密度fY(y)；
    (Ⅱ)计算P{Y≥k}．
选项
答案(Ⅰ)由题设知X的概率密度fX(χ)＝[*]所以Y的分布函数 FY(Y)＝P{Y≤y}＝P{InX≤y}(y∈R)． 由于P{X＞1}＝1，故当y≤0时FY(y)＝0；当y＞0时， FY(y)＝P{1＜X＜ey}＝[*]λχ－λ－1dχ＝1－e－λy． 于是FY(y)＝[*]，故Y＝lnX的概率密度 [*] 可见Y服从参数为λ的指数分布． (Ⅱ)P{Y≥k}＝∫k＋∞λe－λydy＝e－λk，由于A＞0，0＜e－λ＜1，故 [*]
解析
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考研数学一

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