已知随机变量X的分布函数FX(χ)＝(λ＞0)，Y＝lnX． (Ⅰ)求Y的概率密度fY(y)； (Ⅱ)计算P{Y≥k}．

admin2018-11-23 56

问题已知随机变量X的分布函数F_X(χ)＝

(λ＞0)，Y＝lnX．
(Ⅰ)求Y的概率密度f_Y(y)；
(Ⅱ)计算

P{Y≥k}．

选项

答案(Ⅰ)由题设知X的概率密度f_X(χ)＝[*]所以Y的分布函数 F_Y(Y)＝P{Y≤y}＝P{InX≤y}(y∈R)．由于P{X＞1}＝1，故当y≤0时F_Y(y)＝0；当y＞0时， F_Y(y)＝P{1＜X＜e^y}＝[*]λχ^－λ－1dχ＝1－e^－λy．于是F_Y(y)＝[*]，故Y＝lnX的概率密度 [*] 可见Y服从参数为λ的指数分布． (Ⅱ)P{Y≥k}＝∫_k^＋∞λe^－λydy＝e^－λk，由于A＞0，0＜e^－λ＜1，故 [*]

解析

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