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设g(x)可导,|g’(x)|<1,且当a≤x≤b时,a<g(x)<b,又x+g(x)-2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明: 存在,并求其值。
设g(x)可导,|g’(x)|<1,且当a≤x≤b时,a<g(x)<b,又x+g(x)-2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明: 存在,并求其值。
admin
2022-03-23
63
问题
设g(x)可导,|g’(x)|<1,且当a≤x≤b时,a<g(x)<b,又x+g(x)-2f(x)=0,若{x
n
}满足x
n+1
=f(x
n
),n=0,1,2,…,x
0
∈[a,b]。证明:
存在,并求其值。
选项
答案
由f(x)=[*][x+g(x)],a≤x≤b时,a<g(x)<b,有a<[*][x+g(x)]<b,即 a<f(x)<b ② 又由拉格朗日中值定理,有 x
n+1
-x
n
=f(x
n
)-f(x
n-1
)=f’(η)(x
n
-x
n-1
) 其中η介于x
n
与x
n-1
之间,n=1,2,… 由②知a<x
n+1
=f(x
n
)<b,即{x
n
}有界,由①知f’(η)<0,于是当x
1
>x
0
时,有x
2
>x
1
,...,由数学归纳法知{x
n
}单调增加,同理,当x
1
<x
0
时,有{x
n
}单调减少,根据单调有界准则,[*]x
n
[*],于是A=f(A),由第一问得知,A=ξ,即[*]x
n
=ξ.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/TBR4777K
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考研数学三
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