就a的不同取值情况，确定方程lnx=xa(a＞0)实根的个数．

admin2019-02-20 66

问题就a的不同取值情况，确定方程lnx=x^a(a＞0)实根的个数．

选项

答案令f(x)=lnx－x^a，即讨论f(x)在(0，+∞)有几个零点．用单调性分析方法．求f(x)的单调区间． [*] 则当0＜x≤x₀时，f(x)单调上升；当x≥x₀时，f(x)单调下降；当x=x₀时，f(x)取最大值[*]从而f(x)在(0，+∞)有几个零点，取决于y=f(x)属于图2．13中的哪种情形． [*] 方程f(x)=0的实根个数有下列三种情形： (I)当[*]即[*]时，恒有f(x)＜0 ([*]x∈(0，+∞))，故f(x)=0没有根． (Ⅱ)当[*]即[*]时，由于x∈(0，+∞)，当x≠x₀=e^e时，f(x)＜0，故f(x)=0只有一个根，即x=x₀=e_e． (Ⅲ)当[*]即[*]时，因为 [*] 故方程f(x)=0在(0，x₀)，x₀，+∞)各只有一个根．因此f(x)=0在(0，+∞)恰有两个根．

解析

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考研数学三

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