设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)．

admin2020-04-30 78

问题设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且
[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x²y]dy=0
为一全微分方程，求f(x)．

选项

答案由全微分方程的充要条件[*]，得到 x²+2xy-f(x)=f”(x)+2xy，即f”(x)+f(x)=x²，解之得通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx+x²-2．由f(0)=0，f’(0)=1，解得C₁=2，C₂=1，因此f(x)=2cos x+sin x+x²-2．

解析

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考研数学一

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