2. 考研
  3. 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)．

设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)．

admin2020-04-30  83
问题 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且
    [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0
为一全微分方程，求f(x)．
选项
答案由全微分方程的充要条件[*]，得到 x2+2xy-f(x)=f”(x)+2xy， 即f”(x)+f(x)=x2，解之得通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2． 由f(0)=0，f’(0)=1，解得C1=2，C2=1，因此f(x)=2cos x+sin x+x2-2．
解析
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考研数学一

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