已知二次型f(x1,x2,x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3. 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.

admin2019-07-16  55

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3
用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.

选项

答案f的矩阵为 [*] 由A的特征方程 [*] =(λ-1)(λ2-36)=0 得A的全部特征值为λ1=1,λ2=6,λ3=-6.计算可得。对应的特征向量分别可取为 α1=(2,0,-1)T,α2=(1,5,2)T,α3=(1,-1,2)T 对应的单位特征向量为 [*] 由此可得所求的正交矩阵为 P=[β1 β2 β3] [*] 对二次型f作正交变换 [*] 则二次型f可化为如下标准形:f=y12+6y22-6y32

解析
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