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设f(x)为(一∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt,则F(x)是
设f(x)为(一∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt,则F(x)是
admin
2020-03-24
60
问题
设f(x)为(一∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(x一t)dt,则F(x)是
选项
A、单调增加的奇函数.
B、单调增加的偶函数.
C、单调减小的奇函数.
D、单调减小的偶函数.
答案
C
解析
对被积函数作变量替换u=x一t,就有
F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(x一t)dt=∫
0
x
(x一2u)f(u)du
=x∫
0
x
f(u)du一2∫
0
x
uf(u)du.
由于f(x)为奇函数,故∫
0
x
f(u)du为偶函数,于是x∫
0
x
f(u)du为奇函数,又因uf(u)为偶函数,从而
∫
0
x
uf(u)du为奇函数,所以F(x)为奇函数.又
F’(x)=∫
0
x
f(u)du+xf(x)一2xf(x)=∫
0
x
f(u)du一xf(x),
由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫
0
x
f(u)du=xf(ξ).从而F’(x)=x[f(ξ)一f(x)],无论x>0,还是x<0,由f(x)单调增加,都有F’(x)<0,从而应选(C).
其实由F’(x)=∫
0
x
f(u)du一xf(u)=∫
0
x
[f(u)一f(x)]du及f(x)单调增加也可得F’(x)<0.
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0
考研数学三
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