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  3. 设f(x)为(一∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt，则F(x)是

设f(x)为(一∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt，则F(x)是

admin2020-03-24  53
问题 设f(x)为(一∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt，则F(x)是
选项 A、单调增加的奇函数．
B、单调增加的偶函数．
C、单调减小的奇函数．
D、单调减小的偶函数．
答案C
解析 对被积函数作变量替换u=x一t，就有
    F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt=∫0x(x一2u)f(u)du
    =x∫0xf(u)du一2∫0xuf(u)du．
    由于f(x)为奇函数，故∫0xf(u)du为偶函数，于是x∫0xf(u)du为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而
∫0xuf(u)du为奇函数，所以F(x)为奇函数．又
    F’(x)=∫0xf(u)du+xf(x)一2xf(x)=∫0xf(u)du一xf(x)，
由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫0xf(u)du=xf(ξ)．从而F’(x)=x[f(ξ)一f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F’(x)＜0，从而应选(C)．
    其实由F’(x)=∫0xf(u)du一xf(u)=∫0x[f(u)一f(x)]du及f(x)单调增加也可得F’(x)＜0．
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考研数学三

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