设f(x)为(一∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt,则F(x)是

admin2020-03-24  39

问题 设f(x)为(一∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt,则F(x)是

选项 A、单调增加的奇函数.
B、单调增加的偶函数.
C、单调减小的奇函数.
D、单调减小的偶函数.

答案C

解析 对被积函数作变量替换u=x一t,就有
    F(x)=∫0x(2t一x)f(x一t)dt=∫0x(x一2u)f(u)du
    =x∫0xf(u)du一2∫0xuf(u)du.
    由于f(x)为奇函数,故∫0xf(u)du为偶函数,于是x∫0xf(u)du为奇函数,又因uf(u)为偶函数,从而
0xuf(u)du为奇函数,所以F(x)为奇函数.又
    F’(x)=∫0xf(u)du+xf(x)一2xf(x)=∫0xf(u)du一xf(x),
由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫0xf(u)du=xf(ξ).从而F’(x)=x[f(ξ)一f(x)],无论x>0,还是x<0,由f(x)单调增加,都有F’(x)<0,从而应选(C).
    其实由F’(x)=∫0xf(u)du一xf(u)=∫0x[f(u)一f(x)]du及f(x)单调增加也可得F’(x)<0.
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