设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

admin2021-11-25  37

问题 设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

选项

答案方法一 ∫0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx-k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx] =(1-k)∫0kf(x)dx-k∫k1f(x)dx =k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)] 其中ξ1∈[0,k],ξ2∈[k,1],因为0<k<1且f(x)单调减少, 所以∫0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0,故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx 方法二 ∫0kf(x)dx[*]k∫01f(kt)dt=k∫01f(kx)dx,当x∈[0,1]时,因为0<k<1,所以kx≤x,又因为f(x)单调减少,所以f(kx)≥f(x),两边积分得∫01f(kx)dx≥∫01f(x)dx,故k∫01f(kx)dx≥k∫01f(x)dx,即∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

解析
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