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设V是向量组α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T所生成的向量空间,求V的维数和它的一个标准正交基.
设V是向量组α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T所生成的向量空间,求V的维数和它的一个标准正交基.
admin
2021-02-25
59
问题
设V是向量组α
1
=(1,1,2,3)
T
,α
2
=(-1,1,4,-1)
T
,α
3
=(5,-1,-8,9)
T
所生成的向量空间,求V的维数和它的一个标准正交基.
选项
答案
由于 [*] 显然α
1
,α
2
线性无关且α
3
=2α
1
-3α
2
,因此向量空间V的维数是2,且α
1
,α
2
为它的一个基.为了求V的一个标准正交基,先将α
1
,α
2
正交化,令β
1
=α
1
=(1,1,2,3)
T
, [*] 再将β
1
,β
2
单位化,得 [*] 故e
1
,e
2
就是V的一个标准正交基.
解析
本题考查由一组向量所生成的向量空间的概念和标准正交基的化法.由于V是由α
1
,α
2
,α
3
所生成的向量空间,所以V的维数等于向量组α
1
,α
2
,α
3
的秩,且α
1
,α
2
,α
3
的任一极大线性无关组便是V的一个基.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ei84777K
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考研数学二
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