2. 考研
  3. (2013年)设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明： 存在η∈(一1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．

(2013年)设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明： 存在η∈(一1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．

admin2018-06-30  51
问题 (2013年)设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明：
存在η∈(一1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．
选项
答案因为f(x)是奇函数，所以f’(x)是偶函数，故f’(一ξ)=f’(ξ)=1． 令F(x)=[f’(x)一1]ex，则F(x)可导，且F(-ξ)=F(ξ)=0． 根据罗尔定理，存在η∈(一ξ，ξ)[*](一1，1)，使得F’(η)=0． 由F’(η)=[f"(η)+f’(η)一1]eη且eη≠0，得f"(η)+f’(η)=1．
解析
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考研数学一

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