设f(x)在(-∞，+∞)上可导，且其反函数存在为g(x)．若则当-∞＜x＜+∞时f(x)=________

admin2016-07-22 99

问题设f(x)在(-∞，+∞)上可导，且其反函数存在为g(x)．若则当-∞＜x＜+∞时f(x)=________

选项

答案[*]

解析未知函数含于积分之中的方程称积分方程．现在此积分的上限为变量，求此方程的解的方法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之．注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之．
将所给方程两边对x求导，有g[f(x)]f’(x)+f(x)=xe^x．
因g[f(x)]≡x，所以上式成为xf’(x)+f(x)=xe^x．
以x=0代入上式，由于f’(0)存在，所以由上式得f(0)=0．当x≠0时，上式成为

由于f(x)在x=0处可导，所以连续．令x→0，得

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