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设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关． (1)若n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关，则向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出； (2)若n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关，则向量组β1，
设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关． (1)若n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关，则向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出； (2)若n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关，则向量组β1，
admin
2016-03-01
69
问题
设n维列向量组α
1
，α
2
，…，α
m
(m＜n)线性无关．
(1)若n维列向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，则向量组α
1
，α
2
，…，α
m
可由向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性表出；
(2)若n维列向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，则向量组β
1
，β
2
，…，β
m
可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线件表出：
(3)若n维列向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，则向量组α
1
，α
2
，…，α
m
与向量组β
1
，β
2
，…，β
m
等价；
(4)n维列向量β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关的充分必要条件是矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
m
)的秩等于矩阵B=(β
1
，β
2
，…，β
m
)的秩．
上述命题中，正确命题的个数为[ ]个．
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
A
解析
设α
1
=(1，0，0)
T
，α
2
=(0，1，0)
T
，β
1
=(1，0，0)
T
，β
2
=(0，0，1)
T
，则α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
也线性无关．但α
2
不能由β
1
，β
2
线性表出，β
2
也不能由α
1
，α
2
线性表出，因此命题
(1)，命题(2)都是错误的，从而命题(3)也是错误的．由排除法，只有命题(4)是正确的．
故选(A)．
事实上，可以证明命题(4)是正确的：
必要性若向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关．则矩阵B=(β
1
，β
2
，…，β
m
)的秩r(B)=m，由题设向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，因此矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
m
)的秩r(A)=m．从而有r(A)=r(B)．
充分性 因r(A)=r(B)，即r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=r(β
1
，β
2
，…，β
m
)．又α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，因此r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=m，故r(β
1
，β
2
，…，β
m
)=m，即β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关．
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