设积分区域D={(x,y)｜0≤x≤y≤2π},计算二重积分 I=｜sin(y－x)｜dσ.

admin2022-03-14 47

问题设积分区域D={(x,y)｜0≤x≤y≤2π},计算二重积分
I=

｜sin(y－x)｜dσ.

选项

答案由于被积函数为｜sin(y－x)｜，因此要分D为D₁∪D₂,如图所示。 [*] 其中 D₁={(x,y)｜π≤y－x≤2π,(x,y)∈D} D₂={(x,y)｜0≤y－x≤π,(x,y)∈D} 仅当y－x=π(x,y)∈D）时，D₁与D₂有公共边，不影响积分的值。 [*] =∫₀^2πdx∫_x^2πsin(y－x)dy－2∫₀^πdx∫_x+π^2πsin(y－x)dy =－∫₀^2πcos(y－x)｜_y=x^y=2πdx+2∫₀^πcos(y－x)｜_x+π^2πdx =－∫₀^2π(cosx－1)dx+2∫₀^π(cosx+1)dx=4π

解析

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考研数学三

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