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设A,B均是不等于零的常数,则微分方程y’’-2y’+5y=excos2x有特解( )
设A,B均是不等于零的常数,则微分方程y’’-2y’+5y=excos2x有特解( )
admin
2019-05-15
53
问题
设A,B均是不等于零的常数,则微分方程y’’-2y’+5y=e
x
cos2x有特解( )
选项
A、y
*
=xe
x
(Acos2x+Bsin2x).
B、y
*
=e
x
(Acos2x+Bsin2x).
C、y
*
=Axe
x
cos2x.
D、y
*
=Axe
x
sin2x.
答案
D
解析
二阶线性齐次微分方程y’’-2y’+5y=0的特征方程为r
2
-2r+5=0,特征根为
r
1,2
=1±2i.
因为λ±iω=1±2i是特征根,所以设二阶线性非齐次微分方程
y’’-2y’+5y=e
x
cos2x
的特解为y
*
=xe
x
(Acos2x+Bsi2x).从形式上看,应选A,但注意到题目条件A,B均是不等于零的常数,进一步,
y’
*
=(x+1)e
x
(Acos2x+Bsin2x)+xe
x
(-2Asin2x+2Bcos2x),
y’’
*
=(x+2)e
x
(Acos2x+Bsin2x)+2(x+1)e
x
(-2Asin2x+2Bcos2x)+xe
x
(-4Acos2x-4Bsin2x),
将y
*
,y’
*
,y’’’
*
代入y’’-2y’+5y=e
x
cos2x,并化简整理得
4Be
x
cos2x-4Ae
x
sin2x=e
x
cos2x,
从而A=0,B=
xe
x
sin 2x是原微分方程的特解,于是y
*
=Axe
x
sin 2x是其特解.
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考研数学一
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