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  3. 设A，B均是不等于零的常数，则微分方程y’’-2y’+5y=excos2x有特解( )

设A，B均是不等于零的常数，则微分方程y’’-2y’+5y=excos2x有特解( )

admin2019-05-15  46
问题 设A，B均是不等于零的常数，则微分方程y’’-2y’+5y=excos2x有特解(    )
选项 A、y*=xex(Acos2x+Bsin2x)．
B、y*=ex(Acos2x+Bsin2x)．
C、y*=Axexcos2x．
D、y*=Axexsin2x．
答案D
解析 二阶线性齐次微分方程y’’-2y’+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0，特征根为
r1,2=1±2i．
    因为λ±iω=1±2i是特征根，所以设二阶线性非齐次微分方程
    y’’-2y’+5y=excos2x
的特解为y*=xex(Acos2x+Bsi2x)．从形式上看，应选A，但注意到题目条件A，B均是不等于零的常数，进一步，
y’*=(x+1)ex(Acos2x+Bsin2x)+xex(-2Asin2x+2Bcos2x)，
y’’*=(x+2)ex(Acos2x+Bsin2x)+2(x+1)ex(-2Asin2x+2Bcos2x)+xex(-4Acos2x-4Bsin2x)，
将y*，y’*，y’’’*代入y’’-2y’+5y=excos2x，并化简整理得
4Bexcos2x-4Aexsin2x=excos2x，
从而A=0，B=xexsin 2x是原微分方程的特解，于是y*=Axexsin 2x是其特解．
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考研数学一

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