2. 考研
  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2,f(1)=1,则∫12f(x)dx=________.

设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2,f(1)=1,则∫12f(x)dx=________.

admin2021-11-25  58
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2,f(1)=1,则∫12f(x)dx=________.
选项
答案[*]
解析 由∫0xtf(2x－t)dt∫2xx(2x－u)f(u)(－du)
=∫x2x(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du
得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,两边对x求导得
2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(2x)+xf(x)=,整理得
2∫x2xf(u)du－xf(x)=
取x=1得2∫12f(u)du－f(1)=,故∫12f(x)dx=.
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考研数学二

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