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求椭圆x2+4y2=4上一点,使其到直线2x+3y-6=0的距离最短.
求椭圆x2+4y2=4上一点,使其到直线2x+3y-6=0的距离最短.
admin
2021-02-25
19
问题
求椭圆x
2
+4y
2
=4上一点,使其到直线2x+3y-6=0的距离最短.
选项
答案
解法1:设p(x,y)为椭圆x
2
+4y
2
=4上任意一点,则p到直线2x+3y-6=0的距离为[*].求d的最小值点即求d
2
的最小值点.下面利用拉格朗日乘数法求d
2
的最小值点. 设[*],得到方程组 [*] 解上述方程组,得x
1
=8/5,y
1
=3/5;x
2
=-8/5,y
2
=-3/5. 于是 [*] 由问题的实际意义最短距离存在,因此(8/5,3/5)即为所求的极小值点. 解法2:椭圆x
2
+4y
2
=4上任意一点p(x,y)处切线的斜率为[*],平行于直线2x+3y-6=0的切线斜率应满足[*],即3x=8y.由 [*] 解得 x
1
=8/5,y
1
=3/5;x
2
=-8/5,y
2
=-3/5. 于是[*].因此(8/5,3/5)即为所求的极小值点 解法3:椭圆的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ,将其代入p(x,y)到直线2x+3y-6=0的距离[*]中,得 [*],其中sinθ=4/5,cosθ=3/5. 当sin(φ+θ)=1时,d达到最小值,而此时x=2cosφ=2sinθ=8/5,y=sinφ=cosθ=3/5.即(8/5,3/5)即为所求的极小值点.
解析
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考研数学二
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