求椭圆x2+4y2=4上一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短．

admin2021-02-25 34

问题求椭圆x²+4y²=4上一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短．

选项

答案解法1：设p(x，y)为椭圆x²+4y²=4上任意一点，则p到直线2x+3y-6=0的距离为[*]．求d的最小值点即求d²的最小值点．下面利用拉格朗日乘数法求d²的最小值点．设[*]，得到方程组 [*] 解上述方程组，得x₁=8/5，y₁=3/5；x₂=-8/5，y₂=-3/5．于是 [*] 由问题的实际意义最短距离存在，因此(8/5，3/5)即为所求的极小值点．解法2：椭圆x²+4y²=4上任意一点p(x，y)处切线的斜率为[*]，平行于直线2x+3y-6=0的切线斜率应满足[*]，即3x=8y．由 [*] 解得 x₁=8/5，y₁=3/5；x₂=-8/5，y₂=-3/5．于是[*]．因此(8/5，3/5)即为所求的极小值点解法3：椭圆的参数方程为x=2cosφ，y=sinφ，将其代入p(x，y)到直线2x+3y-6=0的距离[*]中，得 [*]，其中sinθ=4/5，cosθ=3/5．当sin(φ+θ)=1时，d达到最小值，而此时x=2cosφ=2sinθ=8/5，y=sinφ=cosθ=3/5．即(8/5，3/5)即为所求的极小值点．

解析

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考研数学二

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求椭圆x2+4y2=4上一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短．

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