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  3. 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=0且a≠b．证明：A可对角化．

设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=0且a≠b．证明：A可对角化．

admin2021-11-15  50
问题 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=0且a≠b．证明：A可对角化．
选项
答案由(aE-A)(bE-A)=0，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=0，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n， 同时r(aE-A)+r(bE-A)≥r[(aE-A)-(bE-A)]=r[(a-b)E]=n， 所以r(aE-A)+r(bE-A)=n， (1)若|aE-A|≠0，则r(aE-A)=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE. (2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE. (3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a、b都是矩阵A的特征值 方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个； 方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个. 因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.
解析
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考研数学二

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