设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).证明:ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0;存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0.

admin2022-10-12  23

问题 设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).证明:ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0;存在ξ∈(0,3),使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0.

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt,F’(x)=f(x),∫02f(t)dt=F(2)-F(0)=F’(c)(2-0)=2f(c),其中0<c<2.因为f(x)在[2,3]上连续,所以f(x)在[2,3]上取到最小值m和最大值M,m≤[f(2)+f(3)]/2≤M,由介值定理,存在x0∈[2,3],使得f(x0)=[f(2)+f(3)]/2,即f(2)+f(3)=2f(x0),于是f(0)=f(c)=f(x0),由罗尔定理,存在ξ1∈(0,c)∈(0,3),ξ2∈(c,x0)∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)0.令φ(x)=e-2xf’(x),φ(ξ1)=φ(ξ2)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)∈(0,3),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e-2x[f"(x)-2f’(x)]且e-2x≠0,故f"(ξ)-2f’(ξ)=0.

解析
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