设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1AP=A.

admin2017-10-19  25

问题 设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1123,Aα2=2α23,Aα3=2α2+3α3
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1AP=A.

选项

答案(Ⅰ)由已知条件有 A(α1,α2,α3)=(α123,2α23,2α2+3α3)=(α1,α2,α3)[*] 记P1=(α1,α2,α3),B=[*],则有AP1=P1B. 因为α1,α2,α3线性无关,矩阵P可逆,所以P1-1AP1=B,即矩阵A与B相似.由 |λE-B|=[*]=(λ-1)2(λ-4), 知矩阵B的特征值是1,1,4,故矩阵A的特征值是1,1,4. (Ⅱ)对矩阵B,由(E-B)x=0,得λ=1的特征向量β1=(-1,1,0)T, β2=(-2,0,1)T;由(4E-B)x=0,得λ=4的特征向量β3=(0,1,1)T. 那么令P2=(β1,β2,β3)=[*] 故当P=P1P2=(α1,α2,α3)[*]=(-α112,-2α13,α23)时, P-1AP=A=[*]

解析
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