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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1AP=A.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (Ⅰ)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1AP=A.
admin
2017-10-19
61
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)求可逆矩阵P使P
-1
AP=A.
选项
答案
(Ⅰ)由已知条件有 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
,2α
2
+α
3
,2α
2
+3α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 记P
1
=(α
1
,α
2
,α
3
),B=[*],则有AP
1
=P
1
B. 因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,矩阵P可逆,所以P
1
-1
AP
1
=B,即矩阵A与B相似.由 |λE-B|=[*]=(λ-1)
2
(λ-4), 知矩阵B的特征值是1,1,4,故矩阵A的特征值是1,1,4. (Ⅱ)对矩阵B,由(E-B)x=0,得λ=1的特征向量β
1
=(-1,1,0)
T
, β
2
=(-2,0,1)
T
;由(4E-B)x=0,得λ=4的特征向量β
3
=(0,1,1)
T
. 那么令P
2
=(β
1
,β
2
,β
3
)=[*] 故当P=P
1
P
2
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(-α
1
+α
12
,-2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
)时, P
-1
AP=A=[*]
解析
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考研数学三
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