2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1AP=A．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1AP=A．

admin2017-10-19  23
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1AP=A．
选项
答案(Ⅰ)由已知条件有 A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)[*] 记P1=(α1，α2，α3)，B=[*]，则有AP1=P1B． 因为α1，α2，α3线性无关，矩阵P可逆，所以P1-1AP1=B，即矩阵A与B相似．由 ｜λE-B｜=[*]=(λ-1)2(λ-4)， 知矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值是1，1，4． (Ⅱ)对矩阵B，由(E-B)x=0，得λ=1的特征向量β1=(-1，1，0)T， β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)x=0，得λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T． 那么令P2=(β1，β2，β3)=[*] 故当P=P1P2=(α1，α2，α3)[*]=(-α1+α12，-2α1+α3，α2+α3)时， P-1AP=A=[*]
解析
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考研数学三

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