2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且 f(0)．f(1)＞0，f(1)+∫01f(x)dx=0， 试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．

设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且 f(0)．f(1)＞0，f(1)+∫01f(x)dx=0， 试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．

admin2017-07-10  8
问题 设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且
f(0)．f(1)＞0，f(1)+∫01f(x)dx=0，
试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．
选项
答案令F(x)=[*]f(x)， f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(x)=0，c∈(0，1)， 由此可知f(x)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(C)＞0，则f(1)＜0，f(0)＜0． 由连续函数的零点定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由 罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即 [*]=0． 故f’(ξ)=ξf(ξ)．
解析
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考研数学二

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