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作自变量替换,把方程变换成y关于t的微分方程,并求原方程的通解.
作自变量替换,把方程变换成y关于t的微分方程,并求原方程的通解.
admin
2014-02-05
45
问题
作自变量替换
,把方程
变换成y关于t的微分方程,并求原方程的通解.
选项
答案
【分析与求解一】(I)先求[*]①即[*]②再将①求导,得[*]即[*]将①代入→[*]③将②,③代入原方程得[*]④ (Ⅱ)求解二阶常系数线性方程④.相应的特征方程λ
2
+2λ+1=0,有重根λ=一1.非齐次方程可设特解y
*
=Asint+Bcost,代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint.即Acost—Bsint=sint.比较系数得A=0.B=一1.即y
*
(t)=一cost,因此④的通解为y=(C
1
+C
2
t)e
-t
一cost. (Ⅲ)原方程的通解为[*]其中[*] 【分析与求解二】先求[*]再将⑤求导得[*]即[*]将⑥,⑦式代入原方程得[*]余下步骤同前.
解析
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考研数学二
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