作自变量替换，把方程变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解．

admin2014-02-05 62

问题作自变量替换

，把方程

变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解．

选项

答案【分析与求解一】(I)先求[*]①即[*]②再将①求导，得[*]即[*]将①代入→[*]③将②，③代入原方程得[*]④ (Ⅱ)求解二阶常系数线性方程④．相应的特征方程λ²+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y^*=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint．即Acost—Bsint=sint．比较系数得A=0．B=一1．即y^*(t)=一cost，因此④的通解为y=(C₁+C₂t)e^-t一cost． (Ⅲ)原方程的通解为[*]其中[*] 【分析与求解二】先求[*]再将⑤求导得[*]即[*]将⑥，⑦式代入原方程得[*]余下步骤同前．

解析

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