设A、B都是m×n矩阵,证明:r(A+B)≤r(A)+r(B).

admin2017-07-26  24

问题 设A、B都是m×n矩阵,证明:r(A+B)≤r(A)+r(B).

选项

答案将矩阵A与B按列分块为 A=[α1,α2,…,αn],B=[β1,β2,…,βn], 并记r(A)=r1,r(B)=r2.不失一般性,设α1,α2,…,[*]是A的列向量组的一个极大线性无关组,β1,β2,…,[*]是B的列量组的一个极大线性无关组,从而α1,α2,…,αn可由α1,α2,…,[*]线性表示,β1,β2,…,βn可由β1,β2,…,[*]线性表示. 因此,α11,α22,…,αnn可由向量组α1,…,[*]线性表示,故 r(A+B)≤r(A)+r(B).

解析
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