2. 考研
  3. (1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

admin2021-11-09  69
问题 (1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．
(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．
选项
答案(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素bij(i≠j)都为0 设A的对角线元素为λ1，λ2，…，λn．则AB的(i，j)位元素为λibij，而BA的(i，j)位元素为λjbij.因为AB=BA，得 aibij=λjbij． 因为λi≠λj，所以bij=0． (2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵． 再说明C的对角线元素c11，c22，…，cnn都相等． 构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j，则 CA的(i，j)位元素为cii，AC的(i，j)位元素为cjj．于是cii=cjj．这里的i，j是任意的，从而 c11=c22=…=cnn．
解析
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考研数学二

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