(1)设A是对角矩阵,并且对角线上元素两两不相等.证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵. (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换,则C必是数量矩阵.

admin2021-11-09  36

问题 (1)设A是对角矩阵,并且对角线上元素两两不相等.证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵.
(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换,则C必是数量矩阵.

选项

答案(1)设B和A乘积可交换,要证明B是对角矩阵,即要说明B的对角线外的元素bij(i≠j)都为0 设A的对角线元素为λ1,λ2,…,λn.则AB的(i,j)位元素为λibij,而BA的(i,j)位元素为λjbij.因为AB=BA,得 aibijjbij. 因为λi≠λj,所以bij=0. (2)先说明C一定是对角矩阵.由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换,由(1)的结论得出C是对角矩阵. 再说明C的对角线元素c11,c22,…,cnn都相等. 构造n阶矩阵A,使得其(i,j)位元素为1,i≠j,则 CA的(i,j)位元素为cii,AC的(i,j)位元素为cjj.于是cii=cjj.这里的i,j是任意的,从而 c11=c22=…=cnn

解析
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