2. 考研
  3. 设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，f′(0)＝1，且对任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有f(χ＋y)＝f(χ)f(y)，求f(χ)．

设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，f′(0)＝1，且对任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有f(χ＋y)＝f(χ)f(y)，求f(χ)．

admin2019-08-23  34
问题 设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，f′(0)＝1，且对任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有f(χ＋y)＝f(χ)f(y)，求f(χ)．
选项
答案f′(χ)＝[*]， 由f(0)＝f2(0)得f(0)＝0或f(0)＝1， 若f(0)＝0，则对任意的χ∈(－∞，＋∞)，有f(χ)＝f(χ)f(0)＝0， 则f′(χ)≡0，与f′(0)＝1矛盾，从而f(0)＝1， 于是f′(χ)＝f(χ)[*]＝f(χ)f′(0)＝f(χ)， 即f′(χ)－f(χ)＝0，解得f(χ)＝ce－∫－dχ＝Ceχ，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝eχ．
解析
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考研数学二

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