设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，f′(0)＝1，且对任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有f(χ＋y)＝f(χ)f(y)，求f(χ)．

admin2019-08-23 77

问题设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，f′(0)＝1，且对任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有f(χ＋y)＝f(χ)f(y)，求f(χ)．

选项

答案f′(χ)＝[*]，由f(0)＝f²(0)得f(0)＝0或f(0)＝1，若f(0)＝0，则对任意的χ∈(－∞，＋∞)，有f(χ)＝f(χ)f(0)＝0，则f′(χ)≡0，与f′(0)＝1矛盾，从而f(0)＝1，于是f′(χ)＝f(χ)[*]＝f(χ)f′(0)＝f(χ)，即f′(χ)－f(χ)＝0，解得f(χ)＝ce^－∫－dχ＝Ce^χ，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝e^χ．

解析

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