将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．

admin2022-09-22 106

问题将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．

选项

答案设分割后的三段铁丝的长分别为x，y，z，则x+y+z=2．对应圆的面积为 S₁=π·(x／2π)²=x²／4π．对应正方形的面积为 S₂=(y／4)²=y²／16．对应正三角形的面积为 S₃=[*] 则三个图形的面积之和为S=S₁+S₂+S₃=[*] 构造辅助函数L(x，y，z，λ)=[*]+λ(x+y+z-2)．从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题． [*] 从而得唯一驻点(-2πλ，-8λ，-6[*]λ)．由问题的实际背景可知，在该驻点处，S取得最小值．因此 [*]

解析

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考研数学二

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将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．

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