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将长为2 m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形和正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.
将长为2 m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形和正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.
admin
2022-09-22
63
问题
将长为2 m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形和正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.
选项
答案
设分割后的三段铁丝的长分别为x,y,z,则x+y+z=2. 对应圆的面积为 S
1
=π·(x/2π)
2
=x
2
/4π. 对应正方形的面积为 S
2
=(y/4)
2
=y
2
/16. 对应正三角形的面积为 S
3
=[*] 则三个图形的面积之和为S=S
1
+S
2
+S
3
=[*] 构造辅助函数L(x,y,z,λ)=[*]+λ(x+y+z-2). 从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题. [*] 从而得唯一驻点(-2πλ,-8λ,-6[*]λ). 由问题的实际背景可知,在该驻点处,S取得最小值.因此 [*]
解析
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考研数学二
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