2. 考研
  3. (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f’+(0)

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f’+(0)

admin2017-01-14  18
问题 (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)；
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f’+(0)存在，且f’+(0)=A。
选项
答案(Ⅰ)作辅助函数φ(x)=f(x)-f(a)-[*](x-a)，易验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且 [*] 根据罗尔定理，可得至少有一点ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即 [*] 所以f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。 (Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可知，存在[*](0，δ)，使得 [*] 故f’+(0)存在，且f’+(0)=A。
解析
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考研数学一

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